Відношення R, яке є іррефлексивним, антисиметричним і транзитивним на множині S, називається строгим упорядкуванням на S. Якщо R є строгим упорядкуванням S таким, що виконується точно одне з a R b, b R a або a = b, R називається строгим повним упорядкуванням на A.
Отже, дане відношення R = { ( − 5 , − 6 ) , ( − 6 , − 5 ) , ( − 5 , − 5 ) } на множині A = { − 5 , − 6 } є симетричним і транзитивним, але не рефлексивним.
Наприклад, відношення, визначене xRy, якщо xy є парним числом, є неторанзитивним, але не антитранзитивним. Відношення, визначене xRy, якщо x парне, а y непарне, є як транзитивним, так і антитранзитивним. Відношення, визначене xRy, якщо x є наступним числом y, є одночасно інтранзитивним і антитранзитивним.
Зауважте, що визначення рефлексивних і іррефлексивних відносин не є додатковими. тобто відношення на множині може бути як рефлексивним, так і іррефлексивним або не бути жодним. Те ж саме стосується симетричних і антисиметричних властивостей, а також симетричних і асиметричних властивостей.
Іррефлексивність виникає там, де ніщо не пов’язане із собою. Антисиметрія передбачає, що коли 2 елементи пов’язані «в обох напрямках», це відбувається тому, що вони рівні. Ці дві концепції здаються взаємовиключними, але іррефлексивне відношення також може бути антисиметричним.
1 Відповідь. так Таке відношення дійсно є перехідним відношенням, оскільки єдиними відповідними випадками для передумови "xRy∧yRz" є x=y=z у таких співвідношеннях.