Невід’ємна вимірна функція називається інтегровною за Лебегом, якщо її інтеграл Лебега скінченний. Довільна вимірна функція є інтегровною, якщо і кожна інтегровна за Лебегом, де і позначають позитивну та негативну частини. , відповідно.
відповідь: Всі вирази є інтегралами Лебега. Покрокове пояснення: можна інтегрувати багато функцій, які не можна інтегрувати як інтеграли Рімана або навіть інтеграли Рімана-Стільтьєса, використовуючи інтеграли Лебега, які є інтеграцією функцій за вимірними наборами.
Інтеграл Рімана базується на тому факті, що шляхом розбиття області заданої функції ми апроксимуємо призначену функцію кусково-постійними функціями в кожному підінтервалі. Навпаки, інтеграл Лебега розбиває діапазон цієї функції.
Наприклад, Функція Діріхле, який дорівнює 0, якщо його аргумент ірраціональний, і 1 в іншому випадку, є інтегровним за Лебегом, але не інтегровним за Ріманом. 3.1. 1 Інтеграл Рімана Нагадаємо, що розбиттям інтервалу [a, b] є скінченна послідовність a = x0 < x1 < x2 <…
Ми говоримо, що f інтегровна (за Лебегом), якщо / f dµ < ∞. g dδa = g(a) ≤ f(a). Беручи супремум над таким g, випливає, що / f dµ ≤ f(a). приклад встановлення f(x) на ∞, де (fn(x)) необмежений.
Невід’ємна вимірна функція називається інтегровною за Лебегом, якщо її інтеграл Лебега скінченний. Довільна вимірна функція є інтегровною, якщо і кожна інтегровна за Лебегом, де і позначають позитивну та негативну частини. , відповідно.