Симетрична матриця A є додатно визначеною, якщо всі діагональні елементи додатні, кожен діагональний елемент більший або дорівнює сумі абсолютних значень усіх інших елементів у відповідному рядку/стовпці, і існує один діагональний запис, який є строго більше за суму абсолютних значень …1 грудня 2011 р
Симетрична матриця A є позитивно визначеною тоді і тільки тоді, коли xT Ax > 0 для кожного стовпця x 6= 0 у Rn. Якщо A позитивно визначений і x 6= 0, то xT Ax > 0 згідно з (8.3), оскільки деякий yj 6= 0 і кожне λi > 0. І навпаки, якщо xT Ax > 0, коли x 6= 0, нехай x = Pej 6= 0, де ej – стовпець j In.
Якщо A позитивно визначений, то A оборотний, а A-1 позитивно визначений. доказ. Якщо A є позитивно визначеним, то v/Av > 0 для всіх v 6= 0, отже Av 6= 0 для всіх v 6= 0, отже A має повний ранг, отже A є оборотним. Для будь-якої оборотної матриці A (A-1)/ = (A/)-1.
Матриця M є позитивно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє будь-яку з наступних еквівалентних умов.
- конгруентна діагональній матриці з позитивними дійсними елементами.
- є симетричним або ермітовим, і всі його власні значення є дійсними та позитивними.
- є симетричним або ермітовим, і всі його старші головні мінори позитивні.
Якщо det(A) = ac − b2 > 0, то ac > b2 ≥ 0, а a та c мають мати однаковий знак. Таким чином, det(A) > 0 і tr(A) > 0 еквівалентно умові, що det(A) > 0 і a > 0. Тому необхідною і достатньою умовою для квадратичної форми симетричної матриці 2 × 2 є бути позитивно визначеним для det(A) > 0 і a > 0.
Просто обчисліть квадратичну форму та перевірте її позитивність. Якщо квадратична форма > 0, то вона позитивно визначена. Якщо квадратична форма ≥ 0, то вона додатна напіввизначена. Якщо квадратична форма < 0, то вона від’ємно визначена.