Імовірність знаходження класичної частинки в межах малого інтервалу dx становить дорівнює частці його часу, який він витрачає на проходження через 8x. Тобто ви, швидше за все, знайдете частинку в тих інтервалах Sx, де вона проводить багато часу, менш імовірні, щоб знайти її в dx, де вона проводить дуже мало часу.
Точніше, ми повинні сказати, що ймовірність знайти частинку між x і x+dx становить p(x)dx=|ψ(x)|2dx тоді як |ψ(x)|2 є щільністю ймовірності (на одиницю довжини). У 3D |ψ(→x)|2 є щільністю ймовірності на одиницю об’єму, а ймовірність визначається як |ψ(→x)|2d3x.
Згідно з квантовою механікою, рухома матеріальна частинка пов’язана з хвильовими пакетами. Загальна ймовірність знаходження частинки в просторі за нормалізованих умов становить один.
Хвильове представлення частинки називається ψ(x,t)=Aexp[i(kx−ωt)]. Імовірність того, що частинка буде знайдена в положенні x у момент часу t, обчислюється як |ψ|2=ψψ∗ це √A2(cos2+sin2).
Для гармонійного осцилятора частинка завжди коливається від x=−A до x=+A. Кожен цикл ідентичний попередньому, тому ймовірність знайти частинку між x і x+dx дорівнює dt/T де dt — час, потрібний частинці для переходу від x до x+dx, а T — загальний період часу одного коливання.
У класичній постановці задачі частинка не мала б ніякої енергії, щоб перебувати в цій області. Ймовірність знайти квантову частинку в основному стані в класично забороненій області становить приблизно 16%.